Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $\dfrac{a}{b}=2, \dfrac{b}{c}=5$. Найдите значение выражения $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ac}$.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Учитель физкультуры хочет выстроить в шеренгу (линию) 60 школьников – 29 мальчиков и 31 девочку так, чтобы ни один из школьников (девочка или мальчик) не стоял между двумя девочками. Удастся ли ему это?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  $A$, $B$, $C$ — три различные нечетные цифры. Известно, что $s=\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}$ — трёхзначное число. Найдите $s$. Через $\overline{abc}$ обозначается число, десятичная запись которого состоит из цифр $a, b, c$ в указанном порядке.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Решите уравнение $\dfrac{1}{{2x - 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{4x^2 - 1}} = 1.$
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все простые числа вида $2^{2^{\dots2}}+9$.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Вне квадрата $ABCD$ взяли такую точку $P$, что $AP=AB$ и $\angle ADP=10^\circ $. Какие возможные значения может иметь величина угла $\angle APB$?
комментарий/решение(1)