Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

Шахмат турнирінде 11 адам ойнайды. Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға $0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының $75\%$-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?

Комментарий/решение

Ответ:6

Сначала покажем пример доказывающий, что 6 возможно. Пусть игроки $A_1,\dots A_6$ сыграли между собой на ничью. А также каждый из них выиграл игроков $A_7,\dots A_{11}$. Тогда $A_j$ ($1\leq j\leq 6$) сыграл 5 партий на ничью и 5 выиграл. Значит у каждого из них по $7.5$ очков и они получили разряд.

Допустим, что может быть больше 6 людей у которые получили разряд. Заметим, что с каждой игрой общее кол-во очков увеличивается на 1. Значит всего есть $C_{11}^{2}=55$ очков. Но тогда получившие разряд людей в сумме взяли не меньше чем $7\times7.5=52.5$ очков. Отсюда выходит, что кол-во взявших разряд ровно 7. Но тогда 4 не получившие разряд в своих партиях должны получить $C_{4}^{2}=6$ очков. В таком случае кол-во очков больше 55. Противоречие. $\blacksquare$.