Математикадан аудандық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 11 сынып

$f$ функциясы кез келген нақты $x$ саны үшін $f\left( \cos x \right)=\cos \left( 17x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандырады. Осы функцияның кез келген нақты $x$ саны үшін $f\left( \sin x \right)=\sin \left( 17x \right)$ тепе-теңдігін қанағаттандыратынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$f(\cos{x})=\cos {(17x)}$

$f\left(\cos{\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)}\right)=\cos {\left(17\left(\cfrac{\pi}{2}-x\right)\right)}$

$f(\sin{x})=\cos {\left(\cfrac{17\pi}{2}-17x\right)}=\cos {\left(\cfrac{\pi}{2}-17x\right)}=\sin{(17x)}$

$f(\sin x)=\sin (17x)$