Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып

$M$ нүктесі $ABC$ үшбұрыштағы $BC$ қабырғасының ортасы болсын. $AC$ түзудің бойында $AL=CN$ және $CL=AN$ теңдіктері орындалатындай, бір-бірімен беттеспейтін $L$ және $N$ нүктелері таңдап алынған. $LM$ және $NM$ түзулердің $AB$ түзуімен қиылысу нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ нүктелерден бірдей қашықтықта жататындығын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

По теореме Менелая

$\dfrac{BM}{CM} \cdot \dfrac{CL}{AL} = \dfrac{BD}{AD}$ и $ \dfrac{AN}{CN} \cdot \dfrac{CM}{ BM } = \dfrac{AF}{ BF} $ тогда

$\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{ AB}{AD}+1$

$\dfrac{AN}{CN} = \dfrac{AB}{BF}+1$

по условию $\dfrac{CL}{AL} = \dfrac{AN}{CN}$ откуда $AD=BF$