Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Әрбір тақ натурал $n$ үшін $P\left( x-\dfrac{1}{x} \right)={{x}^{n}}-\dfrac{1}{{{x}^{n}}}$ теңдігін қанағаттандыратын $n$ дәрежелі жалғыз $P\left( x \right)$ көпмүшелік бар екенін дәлелде. Бұл тұжырым барлық натурал $n$ үшін орындала ма?