Математикадан облыстық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $D,E,F$ нүктелері — сәйкесінше $A$, $B$, $C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары, ал $H$ — үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $\dfrac{AH}{AD}+\dfrac{BH}{BE}+\dfrac{CH}{CF}=2$ теңдігін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

К примеру , выражая соотношения через теорему Ван Обеля , получим

$\dfrac{BH}{BE} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{BD}{CD}+\dfrac{BF}{AF}+1}$

$\dfrac{AH}{AD} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{AF}{BF}+\dfrac{AE}{CE}+1}$

$\dfrac{CH}{CF} = 1-\dfrac{1}{\dfrac{CE}{AE}+\dfrac{CD}{BD}+1}$

Причем $\dfrac{BF}{AF} \cdot \dfrac{AE}{CE} \cdot \dfrac{CD}{BD}=1$, откуда получим требуемое.

S1 - площадь BHC

S2 - площадь CHA

S3 - площадь AHB

S1+S2+S3 = S

AH/AD = (S2+S3)/S

BH/BE = (S3+S1)/S

CH/CF = (S1+S2)/S

2*(S1 + S2 + S3) / S = 2