Областная олимпиада по математике, 2013 год, 11 класс

Решите систему уравнений $\sqrt x-\frac{1}{y}=\sqrt y-\frac{1}{z}=\sqrt z-\frac{1}{x}=\frac{7}{4}$ в вещественных числах.

Комментарий/решение

Из-за симметрии расположения переменных. $x=y=z$ , откуда $4\sqrt{x^3}-4=7x$

$\sqrt{x}=t\\ 4t^3-4=7t^2\\ (t-2)(4t^2+t+2)=0\\ t=2\\x=y=z=4$

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$g(x)=\frac{7}{4}+\frac{1}{x}$$

$$f(x)+f(y)+f(z)=g(x)+g(y)+g(z)\Rightarrow x=y=z$$

$$f(x)=g(x)\Rightarrow x=4=y=z$$

Ответ: $(x,y,z)=(4,4,4).$

Очевидно, что $x,y,z>0\implies \exists a,b,c>0,$ что $a^2=x,b^2=y,c^2=z.$ Тогда

$$a-2=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-b)(2+b)}{(2b)^2},$$

$$b-2=\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-c)(2+c)}{(2c)^2},$$

$$c-2=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{(2-a)(2+a)}{(2a)^2}.$$

Пусть $X=(a-2)(b-2)(c-2),$ тогда $X=-X\cdot Y,$ где $Y>0.$ Поэтому $X=0\implies 0\in\{a-2,b-2,c-2\},$ откуда $(a,b,c)=(2,2,2).$