Областная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Докажите, что для натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a\cdot (a,b)+b\cdot [a,b]\geq 2ab$, где $(a,b)$ — наибольший общий делитель, a $[a,b]$ — наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$.

Комментарий/решение

По неравенству Коши:

$a(a,b)+b[a,b] \ge 2\sqrt{a(a,b)b[a,b]}=2ab$