қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Каждая точка плоскости покрашена в один из трех цветов — синий, красный или зеленый. Верно ли, что обязательно найдется отрезок длины 1, концы которого покрашены одним цветом?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Докажите, что для натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a\cdot (a,b)+b\cdot [a,b]\geq 2ab$, где $(a,b)$ — наибольший общий делитель, a $[a,b]$ — наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $P$. $AP$ пересекает $BC$ в точке $A'$, $BP$ пересекает $CA$ в точке $B'$, $CP$ пересекает $AB$ в точке $C'$.
Известно, что $\frac{AP}{PA'}+\frac{BP}{PB'}+\frac{CP}{PC'}=2011$. Какие значения может принимать величина $\frac{AP}{PA'}\cdot\frac{BP}{PB'}\cdot\frac{CP}{PC'}?$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть $a$, $b$, $c$ — фиксированные действительные числа, причем $0\leq a,b,c\leq4$.
Докажите, что у системы уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
p^2-aq & = & -3, \\
q^2-br & = & -4, \\
r^2-cp & = & -5, \\
\end{array}
\right.
$$
нет ни одного решения $(p,q,r)$ в действительных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, $M$ и $N$ — соответственно середины сторон $AB$ и $AC$. Докажите, что величина угла $MDN$ не меньше величины угла $BAC$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр. Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх; причем порядок купюр в пачке не имеет значения. На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд, и переворачивает всю выбранную часть пачки. Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр, чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)