Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

$[n\sqrt{2}]=\left[ \dfrac{3}{2}n \right]$ теңдігі орындалатындай барлық натурал $n$ санын табыңыз. (Мұндағы $[x]$ — санның бүтін бөлігі, яғни нақты $x$ саннан аспайтын ең үлкен бүтін сан).

Комментарий/решение

$Ответ: 5 ,3 ,1.$

Так как $[x]=x-\{x\}$, и $\{1,5n\}$ равно 0 (когда $n$ чётна) или 0,5 (когда $n$ нечётна), тогда уравнение можно привести к виду $\{1,5n\}-\{\sqrt{2}n\}=(1,5-\sqrt{2})n$. Если $n\geq7$ $$(1,5-\sqrt{2})n>0,08n\geq0,56>\{1,5n\}>\{1,5n\}-\{\sqrt{2}n\}$$. Тогда $n<7$. Если подставить от 1 до 6 , подходит только 5,3,1.