Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының ішінен $M$ нүктесі алынған және $\angle BAC=70^\circ$, $\angle ABC={{80}^{\circ }}$, $\angle ACM={10}^\circ$, $\angle CBM=20^\circ $ екені белгілі. $AB=MC$ екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Из условия следует что $BM=CM$ и $\angle BMC = 2\angle BAC = 140$ , то есть $M$ центр описанной окружности , значит $BM=AM=CM$ и треугольник $ABM$ равносторонний , так как $\angle AMB = 2 \cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$ , то есть $AB=BM=AM=CM$