Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

Жалпы саны 60 болаты эльфтар мен троллдар дөңгелек стол басында отыр. Троллдар әрқашан өтірік айтады, ал эльфтар "қателескен" жағдайдан басқа жағдайда тек шындықты айтады. Әрбір отырған қонақ эльф пен тролл арасында отырғанын айтты және дәл екі эльф қателесті. Стол басында қанша тролл отыр?

Комментарий/решение

Посмотрим на расположение существ, если бы два эльфа не ошиблись. Рядом с эльфом обязательно сидел бы троль и эльф, то есть $ТЭЭ ТЭЭ $. Рядом со вторым эльфом будет сидеть справа троль, так как слева уже сидит эльф , то есть $ТЭЭТТЭЭТ $

.троли всегда лгут ,поэтому справа троля будет сидеть эльф. Получим $ТЭЭТЭЭ$

,то есть отношение эльфов к троллям 2 к 1. Вспомним, что два эльфа ошиблись. Посмотрим на такую цепочку. Должно быть $ЭЭТЭЭТЭЭ $, а получилось

В итоге получили на 2 тролля больше, и на 2 эльфа меньше, то есть 38 эльфов и 22 тролля

Докажем, что все тролли сидят по одному, т. е. левее и правее каждого тролля сидят эльфы. Действительно, в цепочке подряд сидящих троллей крайние тролли скажут правду.

Пусть количество троллей равно п. Основная масса эльфов сидят по двое, тогда левее и правее каждого эльфа будут эльф или тролль.

Только для двух эльфов это условие не выполняется. В записи точками сверху отмечены те эльфы, которые «ошиблись». Возможны случаи:

1) TEĖĖET; 2) TEĖETEĖET; 3) TEĖETĖT; 4) TĖTĖT.

В случаях (1) и (2) имеем 2n + 2 эльфов и n + 2n + 2 = 60, 3n = 58 - решения нет. В случае (3) имеем 2п эльфов и n + 2n = 60, n = 20. В случае (4), 2n - 2 эльфов и n + 2n - 2 = 60, 3n = 62 - решения нет.

Ответ: 20 троллей