Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ треугольники $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ имеют одинаковую площадь. Прямые $AC$ и $AD$ пересекают $BE$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что $BM = EN$.

Комментарий/решение

Если площади треугольников $S(ABC)=S(ABE)$ то и равны площади треугольников $S(BNC) = S(ANE)$ , так же и с треугольниками $S(AMB)=S(EMD)$ данные соотношения между площадями , можно записать как $BM \cdot AM=ME \cdot MD$ откуда $\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{ME}{BM }$ то есть треугольники $BNC, ABE$ подобны , откуда $ AE || BD $ так же и $ CE || AB $ , абсолютно таким же образом и с остальными треугольниками , в итоге получим что четырехугольники $CNED$ и $BCMD$ есть параллелограммы , значит $BM=NE=CD$ .