Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

Тек $O$ нүктесінде жалғанған жанатын жүз $OA_1$, $\ldots$, $OA_{100}$ жіптерінен құралған жұлдыз берілген. Әр жіптің жану уақыты оның қай ұшынан жандырылғанына байланысты емес әрі жіптің жану жылдамдығы тұрақты болу міндетті емес. Егер жұлдызды $A_1$ нүктесінде жадырса ол толығымен 201 секундта, $A_2$ нүктесінде жандырса —202 секундта, $\ldots$, $A_{99}$ нүктесінде жандырса —299 секундта жанады. Егер жұлдызды $A_{100}$ нүктесінде жандырса, ол неше уақытта толығымен жанып бітеді? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Возьмем две самые большие $OX,OY$ у которых время горония будет х+у, еще это наибольшее время горония из чисел 201,202,...,299 т.е. Ответ: 299

Пускай $OA_i, OA_j$-шнуры горящие дольше всех. То очевидно, что если вначале зажечь , точку $A_i$, то звезда сгорит после того, как сгорит $A_j$ и наоборот тоже. Давайте докажем, что $A_i,$ либо $A_j$ это точка $A_{100}$. Пусть это не так. То очевидно, суммы эти равны. Но из сумм выше сказанных нет равных. Противоречие, то какая-та точка это $А_{100}$. Ну очевидно должна быть достигнута максимальная сумма. Это 299.