Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс

Дано простое число $p\ge 3$ и натуральное число $d$. Докажите, что существует натуральное число $n$, взаимно простое с $d$, такое, что произведение $P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на $p^n.$ ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Мотивация. Задача выглядит непросто. Но почему бы не применить супер стандартную и естественную идею с увеличением $n$. Я, конечно, сомневаюсь, но вдруг прокатит(спойлер: прокатило)

Решение. Рассмотрим некоторый $n$, взаимнопростой с $d$, причем такой что $i^{n+j}\neq j^{n+i} \forall 1\le i<j<p$. Он, очевидно, существует, поскольку при фиксированных различных $i,j$ уравнение $i^{n+j}=j^{n+i}\Leftrightarrow (\frac{i}j)^n=\frac{j^i}{i^j}$ имеет не более одного решения.

Положим $m$ как такое натуральное число, что $m>v_p(i^{n+j}-j^{n+i}) \forall 1\le i<j<p$ (Всё хорошо, так как ни один из них не равен 0. Будь всё плохо, тогда -3 балла). Тогда, используя теорему Эйлера, легко видеть, что увеличив $n$ на $p^m(p-1)d$, степень вхождения $p$ в каждую скобку $P$ останется неизменной. Прибавив так достаточное количество раз, получим, что $n$ больше, чем степень вхождения $p$ в $P$ - что требовалось.

Маленький комментарий:) На мой взгляд это совершенно очевидная детская задача, не достойная второй позиции - ОНА ДАЖЕ ПРОЩЕ ПЕРВОЙ. Я, конечно, понимаю, что составители хотели избежать оверсложных задач, как в прошлом году, тем не менее это уже слишком. На олимпиаде я был крайне удивлён, когда она за 5 минут решилась только одной этой бесстыже баянистой и простой идеей. Но ладно изи задача не повод для гнева, ОДНАКО изи задача, которую я решил, но она меня валит, - вот это повод. Её единственное предназначение это проверить внимательность - я эту проверку, к сожалению, не прошёл. Происходило это следующим образом:

За первые полчаса-час у меня были оформлены 1 и 2, и я двинулся к фуре. Вскоре она была уничтожена. После я не поверил, что вторая настолько лёгкая, поэтому проверил её один раз. Потом второй, после и третий. И так далее за полчаса, я, не заметив промаха, допутил ФАТАЛЬНУЮ ОШИБКУ, утвердившись в правильности неправильного решения!!!! Оставшиеся полтора часа я кушал шоколад.

(Дисклеймер: Данный маленький комментарий не несёт в себе цели оскорбить никого(кроме возможно этой задачи))