Математикадан облыстық олимпиада, 2024 жыл, 11 сынып


$x,y,t$ натурал сандары $x^2+257=y^t$ және $2\le t\le 48$ шарттарын қанағаттандырады. $t$ жай сан екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2024-01-08 10:10:12.0 #

Если $t$ составное, наименьший простой делитель один из $2,3,5$.Потом разбор случаев и доказывается что $t$-простое.

пред. Правка 2   0
2024-01-08 23:30:32.0 #

Кстати, в этой задаче можно было доказать, что если $t \notin \mathbb{P}$, то $2;3;5;7 \mid t$ без идеи, которую использовал автор задачи(да, там не было $7$, но он тут улетает сразу вместо с тройкой при использовании жирара). Это просто написать все не простые числа от $2$ до $48$, и посмотреть на их делители. Дальше получаем требуемое. Дальше у меня не получилось решить не сделав одно и тоже с автором

  0
2024-02-20 22:53:42.0 #

так ты же просто переформулировал идею автора, не?)

пред. Правка 2   0
2024-02-21 13:10:58.0 #

Ну тут необязательно понимать, что если $t \notin \mathbb{P} \Rightarrow \exists k : k \leq \sqrt{t}; k \mid t$

Ну а так да, по идее вещи похожие(т.е. одно следствие другого можно сказать наверное). Просто казалось, что до перебора легче догадаться

  0
2024-02-21 15:34:04.0 #

Конечно,как будто кто то без перебора решал

  0
2024-01-09 08:43:53.0 #

Через теорему подбора разобрать все числа от 2 до 48 можно

  0
2024-02-20 20:16:48.0 #

ты сделал мой день

  4
2024-02-21 02:09:48.0 #

Допустим t- составное =>

$2,3,5 | t$

1) $t=2k$

$257=y^{2k}-x^2$

$257=(y^k-x)(y^k+x)$

$x=y^k-1 =>y^{2k}-2y^k+258=y^{2k} => 2y^k=258 => 129=y^k$ что не возможно.

2) $t=3k$

По мод 4 понимаем что x-четный отсюда $y^{3k}$ по моду 4 дает 1 и значит $y^k$ дает тоже 1 => $x^2+256=(y^k-1)(y^2k+y^k+1)$

Так как $(y^2k+y^k+1)$ вида 4к+3 отсюда по лемме у него есть делитель вида 4к+3 назовем его p значит по теореме жирара 16 делится на p что не возможно.

3) $t=5k$

По моду 11 это не возможно.