Processing math: 38%

27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год


a!+b және b!+a сандары 5-тің дәрежесі болатындай барлық натурал (a,b) сандарының жұптарын табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   4
1 года 8 месяца назад #

a!+b=5n

b!+a=5nt

Б.О.О ab

5n:bN

b=5nm

nm

(5nm)!+a=5nt

5nt:5nmN

a:5nmN

a=s5nm

s5nm!+5nm=5n

5n:5nm+1N(m0)

(s5nm)!:5nm+1N

55nm

b=1;5

1)b=1

a!+1=5n

a!:5N

a=4

2)b=5

a!+5=5n

a!:25N

9a

a=5

3)m=0

a!=0

ϕ

(a,b)=(4,1);(1,4);(5,5)

пред. Правка 3   0
1 года 9 месяца назад #

Ответ: (a;b)=(1;4);(4;1);(5;5)

Б.О.О.(Без ограничения общности)ab

a+b!=5m

a!+b=5k

Если a5 5a!

5b b5

Пусть b=5n×l где 5

5^n(\dfrac{a!}{5^n}+l)=5^k

\dfrac{a!}{5^n}+l=5^{k-n}

Поймем , что V_{5}(a!)≥V_{5}(b) (т.е. кол-во 5 в составе a! больше или равно к кол-ву 5 в составе b ,потому что a!=a×(a-1)×.....×b×.....1)

Если V_{5}(a!)>V_{5}(b) , то {5}\mid{\dfrac{a!}{5^n}}

Но {5}\nmid{l} \Rightarrow

{5}\nmid{5^{k-n} }\Rightarrow k-n≤0 значит 5^{k-n}≤1 но \dfrac{a!}{5^n}≥5>1 Противоречие.

Теперь V_{5}(a!)=V_{5}(b)

Равенство выполняется тогда , и только тогда, когда в промежутке 1,2,3....b-1 нет числа который делится на 5 , в противном случае в составе a! будет b , и еще одно число меньше b которое тоже делится на 5 . Очевидно что {5}\mid{a!} \Rightarrow {5}\mid{b} Из этого следует , что b=5 есть случаи когда a=5;6;7;8;9 перебрав , поймем что только (a;b)=(5;5) подходит .

Теперь a<5 т.к. a≥b \Rightarrow b<5 . Разбирая случай поймем , что только (a;b)=(1;4);(4;1) подходит .

  4
8 месяца 14 дней назад #

1 случай)Б.O.O a \geq b а так же a,b >5

Тогда a!+b= b(\frac{a!}{b}+1)=5^{k} нo \frac{a!}{b}+1 дает остаток 1 при деления на 5 так что в таком случий ответов нету

2 случай) a>5 и 5\geq b очевидно что b нечетный так что он 1 или 3 либо 5.Когда b=1,3 очевидно противоречие.Когда b=5 если a>9 противоречия потому что a!+5= 5(\frac{a!}{5}+1)=5^{k} нo \frac{a!}{5}+1 дает остаток 1 при деления на 5 а если меньше десяти просто подбор и выйдет что нету ответов

3 случай) 5\geq a и a>b очевидно что b нечетный так что он 1 или 3.Дальше через подбор найдем что ответы a=4 и b=1

Последний случай)a=b. a!+a=a((a-1)!+1) тогда ясно что 5\geq a и дальше через подбор выйдет что a=b=5

Ответ:(a,b)=(1,4)=(4,1)=(5,5)

  1
6 месяца 18 дней назад #

a!+b=5^x, b!+a=5^y

Пусть a \geq b \geq 5

Заметим что раммотрев по моду 5 a,b делятся на 5.Тогда:

V_5(a!+b)=min[V_5(a!);V_5(b)]=V_5(5^x)=x что возможно только при V_5(a!)=V_5(b) так как V_5(a!);V_5(b) \geq 1 отсюда V_5(a!)= V_5(b) \geq V_5(a) отсюда b делится на a и аналогично

a делится на b. =>> a=b =>> (a,b)=(5,5) а случаи 5 \geq a,b разбираются легко