27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год
Комментарий/решение:
a!+b=5n
b!+a=5n−t
Б.О.О a≥b
5n:b∈N
b=5n−m
n≥m
(5n−m)!+a=5n−t
5n−t:5n−m∈N
a:5n−m∈N
a=s5n−m
s5n−m!+5n−m=5n
5n:5n−m+1∈N(m≠0)
(s5n−m)!:5n−m+1∉N
5≥5n−m
b=1;5
1)b=1
a!+1=5n
a!:5∉N
a=4
2)b=5
a!+5=5n
a!:25∉N
9≥a
a=5
3)m=0
a!=0
ϕ
(a,b)=(4,1);(1,4);(5,5)
Ответ: (a;b)=(1;4);(4;1);(5;5)
Б.О.О.(Без ограничения общности)a≥b
a+b!=5m
a!+b=5k
Если a≥5 ⇒ 5∣a! ⇒
5∣b ⇒ b≥5
Пусть b=5n×l где 5∤
5^n(\dfrac{a!}{5^n}+l)=5^k
\dfrac{a!}{5^n}+l=5^{k-n}
Поймем , что V_{5}(a!)≥V_{5}(b) (т.е. кол-во 5 в составе a! больше или равно к кол-ву 5 в составе b ,потому что a!=a×(a-1)×.....×b×.....1)
Если V_{5}(a!)>V_{5}(b) , то {5}\mid{\dfrac{a!}{5^n}}
Но {5}\nmid{l} \Rightarrow
{5}\nmid{5^{k-n} }\Rightarrow k-n≤0 значит 5^{k-n}≤1 но \dfrac{a!}{5^n}≥5>1 Противоречие.
Теперь V_{5}(a!)=V_{5}(b)
Равенство выполняется тогда , и только тогда, когда в промежутке 1,2,3....b-1 нет числа который делится на 5 , в противном случае в составе a! будет b , и еще одно число меньше b которое тоже делится на 5 . Очевидно что {5}\mid{a!} \Rightarrow {5}\mid{b} Из этого следует , что b=5 есть случаи когда a=5;6;7;8;9 перебрав , поймем что только (a;b)=(5;5) подходит .
Теперь a<5 т.к. a≥b \Rightarrow b<5 . Разбирая случай поймем , что только (a;b)=(1;4);(4;1) подходит .
1 случай)Б.O.O a \geq b а так же a,b >5
Тогда a!+b= b(\frac{a!}{b}+1)=5^{k} нo \frac{a!}{b}+1 дает остаток 1 при деления на 5 так что в таком случий ответов нету
2 случай) a>5 и 5\geq b очевидно что b нечетный так что он 1 или 3 либо 5.Когда b=1,3 очевидно противоречие.Когда b=5 если a>9 противоречия потому что a!+5= 5(\frac{a!}{5}+1)=5^{k} нo \frac{a!}{5}+1 дает остаток 1 при деления на 5 а если меньше десяти просто подбор и выйдет что нету ответов
3 случай) 5\geq a и a>b очевидно что b нечетный так что он 1 или 3.Дальше через подбор найдем что ответы a=4 и b=1
Последний случай)a=b. a!+a=a((a-1)!+1) тогда ясно что 5\geq a и дальше через подбор выйдет что a=b=5
Ответ:(a,b)=(1,4)=(4,1)=(5,5)
a!+b=5^x, b!+a=5^y
Пусть a \geq b \geq 5
Заметим что раммотрев по моду 5 a,b делятся на 5.Тогда:
V_5(a!+b)=min[V_5(a!);V_5(b)]=V_5(5^x)=x что возможно только при V_5(a!)=V_5(b) так как V_5(a!);V_5(b) \geq 1 отсюда V_5(a!)= V_5(b) \geq V_5(a) отсюда b делится на a и аналогично
a делится на b. =>> a=b =>> (a,b)=(5,5) а случаи 5 \geq a,b разбираются легко
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.