Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур регионального этапа

$10\times 10$ кестесінің ұяшықтарына 1, 2, $\ldots$, 99, 100 сандары жазылған. ${2\times 2}$ шаршыдан бір ұяшықты алып тастағанда пайда болатын фигураны бұрыш деп атайық. Егер бұрышта қабырғасы ортақ болатын екі көршісі бар болатын ұяшықтағы сан сол екі көршісіндегі әр саннан артық болса, ондай бұрышты жақсы бұрыш деп атаймыз. Кестеде ең көп дегенде неше жақсы бұрыш болуы мүмкін? (Әр бұрыш басқаларға қатысты қалай орналасқанына қарамастан есептеледі және әртүрлі бұрыштар бір-бірімен қабаттасуы мүмкін.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ: 162

Оценка:

Разобьем доску на квадраты 4*4. Рассмотрим такой квадрат: в нем макс 2 хороших уголков (если будет хотя бы 3, то найдутся два соседних хороших, пусть а1 и а2, но из определения хороших уголков a1>a2 и а2>а1, противоречие). Поэтому, эти 2 уголка являются противоположными углами квадрата.

Рассмотрим количество хороших уголков, образованных из клеток, взятых с разных квадратов. Хорошое клетки - клетки, которые являются центром хотя бы одного хорошего уголка. Хорошие клетки, находящиеся в уголках изначальной таблицы, образуют 1 хороший уголок. Хорошие клетки по бокам, но не в углах, образуют макс 2 хороших уголка. Все остальные хорошие клетки образуют макс 4 хороших уголка.

Теперь посчитаем макс количество хороших уголков во всей таблице:

При нашем макс случае 2 хорошей клетки будут в углах, на каждой боковой стороне по 4, все остальные 32 клетки ни по бокам, ни в углу: 2*1 + 4*4*2 + 32*4 = 2 + 32 + 128 = 162

Пример:

каждый квадрат 4*4 раскрасим так:

черный белый

белый черный

где черная клетка - любое число большее 50, и белая клетка - любое число меньшее или равное 50.