Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми углами $60^\circ$. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго внутри треугольника.) ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Пусть у нас есть правильный треугольник ABC со стороной 3. Обозначим его вершины A, B и C. Также у нас есть два ромба, обозначим их как ADEF и BCEG, где D, E, F, G - середины сторон треугольника ABC.

Сначала докажем, что ромб ADEF не пересекает ромб BCEG внутри треугольника ABC.

Середины сторон треугольника ABC: D (BC), E (AC), F (AB), G (BC).

Поскольку угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам, то все углы ромба ADEF равны 60 градусам.

Рассмотрим треугольник BCF. Углы треугольника равны 60 градусам, следовательно, угол GBC = 60 градусам. Таким образом, угол GBE = 60 градусам.

Угол внутри ромба BCEG в вершине B равен 120 градусам (угол BCA + угол GBE).

Угол внутри ромба ADEF в вершине D также равен 120 градусам (угол ABC + угол DBE).

Следовательно, ромбы ADEF и BCEG не пересекаются внутри треугольника ABC.

Теперь рассмотрим другой ромб A'B'C'D', где A', B', C' - середины сторон ABC, D' - середина отрезка EF внутри ABC. Этот ромб пересекается идеально с ромбом BCEG, так как обе фигуры имеют общие вершины B и C, а их стороны проходят через середины соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом, ромбы A'B'C'D' и BCEG пересекаются внутри треугольника ABC.