Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

$ABC$ үшбұрышы берілген. $BC$ кесіндінің бойында $AT$ — $BAC$ бұрышының биссектрисасы болатындай $T$ нүктесі белгіленген. $AT$ сәулесінің бойында $AS=CT$ орындалатындай $S$ нүктесі берілген. $AS=CS$ болса, $AT=TB$ болатынын дәлелдеңіз, және кері тұжырымды дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Если $AS=CS$ то доказать что $AT=TB$ не составляет труда, это легко сделать по счету углов. Докажем что если $AT=TB$ то $AS=CS$.

Давайте возьмём $AS=a, AT=b$.

Сперва, заметим по теореме биссектрисы что $AB/AC=a+b/a$, теперь выразим $a+b/b=AT/AS$, соответственно $AB/AC=AT/AS$, обратим внимание на рис. $2$.

Можно заметить что эти два треугольника подобны, соответственно $AC=AS$ что и требовалось доказать.

Легенда написал решение на геому

вчера просто на уроке с седьмыми эту задачу решали)