Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год

Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник, в котором $BC=DE$. Внутри пятиугольника нашлась точка $T$ такая, что $TB=TD,TC=TE$ и $\angle ABT = \angle TEA$. Пусть прямая $AB$ пересекает прямые $CD$ и $CT$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Предположим, что точки $P,B,A,Q$ расположены на прямой в указанном порядке. Прямая $AE$ пересекает прямые $CD$ и $DT$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Предположим, что точки $R,E,A,S$ расположены на прямой в указанном порядке . Докажите, что точки $P,S,Q,R$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

СЛАВА ВСЕВЫШНЕМУ на САЙТЕ $\textbf{MATOL.KZ}$ ВЕРНУЛИ ВОЗМОЖНОСТЬ ДОБАВЛЯТЬ КАРТИНКИ В ЧЕСТЬ ЭТОГО а ТАКЖЕ СЕРЕБРЯННОЙ МЕДАЛИ НА iMO У $\textbf{МИРОНА ЮРКЕВИЧА}$ РЕШЕНИЕ БУДЕТ ПОЛНОСТЬЮ НА АРАБСКОМ ЯЗЫКЕ.

$\triangle BIC \cong \triangle DIE$ $\Rightarrow$ $\measuredangle BTC = \measuredangle DTE$ $\Leftrightarrow$ $\measuredangle BTQ = \measuredangle STE$ ($\measuredangle QBT = \measuredangle TES$) $\Rightarrow$ $\triangle STE \sim \triangle QTB$ $\Rightarrow$ $\frac{QT}{BT} = \frac{ST}{ET} \Leftrightarrow QT*ET=ST*BT \Leftrightarrow QT*CT = ST*TD \Rightarrow QSCD-$ منقوشة $\Rightarrow \measuredangle QSR = \measuredangle QSD - \measuredangle ESD = \measuredangle QCD - \measuredangle EST = \measuredangle QCD + \measuredangle TSE = \measuredangle QCD + \measuredangle BQT = -\measuredangle BQT + \measuredangle BQT - \measuredangle CPQ = -\measuredangle CPQ = -\measuredangle RPQ = \measuredangle QPR. \blacksquare $

Оксифан оказывается много знает на арабском

Пусть CT пересекает AE в точке N, а DT пересекает AB в точке M.Понятно что треугольники STE и QMT подобны значит SQMM-вписанный отсюда достаточно доказать что MN паралельно PR. Так как $\angle NTE=\angle MTB$ значит треугольники MBT и NTL подобны. Отсюда $\frac{MT}{NT}=\frac{BT}{CT}$ значит треугольники MNT и CDT подобны отсюда PR паралельно MN.

Смотря на решение сверху можно уверенно сказать что это слишком скучно