Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год

Задача №1. Банк Осло выпускает монеты двух видов: алюминиевые (обозначим их буквой $A$) и бронзовые (обозначим их буквой $B$). Мария выложила в ряд в некотором порядке $n$ алюминиевых и $n$ бронзовых монет. Цепью назовём любую последовательность подряд идущих монет одного вида. Для заданного целого положительного числа $k \leq 2n$ Мария последовательно повторяет следующую операцию: она выбирает цепь наибольшей длины, содержащую $k$-ую слева монету, и перемещает все монеты этой цепочки в левый край ряда. Например, если $n=4$ и $k=4$, то для начального ряда $AABBBABA$ процесс будет иметь вид $AABBBABA \to $ $ BBBAAABA \to $ $ AAABBBBA \to $ $ BBBBAAAA \to ...$ Найдите все пары $(n,k)$, где $1 \leq k \leq 2n$, такие, что для любого начального ряда найдется момент времени такой, что $n$ левых монет ряда будут одного вида.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Через $\mathbb{R}^{+}$ обозначим множество всех целых положительных вещественных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ такие, что для каждого $x \in \mathbb{R}^{+}$ существует ровно одно число $y \in \mathbb{R}^{+}$, удовлетворяющее неравенству $xf(y)+yf(x) \leq 2.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть $k$ — целое положительное число, а $S$ — конечное множество, состоящее из нечетных простых чисел. Докажите, что существует не более одного способа (с точностью до поворотов и отражений) расположить все элементы множества $S$ по кругу так, чтобы произведение любых двух соседних чисел имело вид $x^2+x+k$, где $x$ — целое положительное число.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник, в котором $BC=DE$. Внутри пятиугольника нашлась точка $T$ такая, что $TB=TD,TC=TE$ и $\angle ABT = \angle TEA$. Пусть прямая $AB$ пересекает прямые $CD$ и $CT$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Предположим, что точки $P,B,A,Q$ расположены на прямой в указанном порядке. Прямая $AE$ пересекает прямые $CD$ и $DT$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Предположим, что точки $R,E,A,S$ расположены на прямой в указанном порядке . Докажите, что точки $P,S,Q,R$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Найдите все тройки $(a,b,p)$ целых положительных чисел, такие что число $p$ простое и $a^p=b!+p.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Пусть $n$ — целое положительное число. Нордическим квадратом будем называть любую таблицу $n \times n$, клетки которой заполнены числами от 1 до $n^2$ так, что каждое число использовано по одному разу и в каждой клетке записано ровно одно число. Две клетки назовем соседними, если у них есть общая сторона. Долиной назовем любую клетку, такую что во всех соседних с ней клетках записаны числа, большие чем в ней. Подъемом назовем последовательность, состоящую из не менее чем одной клетки, такую что
   1. первая клетка в последовательности — долина;
   2. каждая следующая клетка последовательности является соседней с предыдущей;
   3. числа, записанные в клетках последовательности, расположены в порядке возрастания.
   Для каждого заданного $n$ найдите наименьшее возможное количество всем подъемов в нордическом квадрате.
комментарий/решение(1)

результаты