Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 11 сынып

Шеңберге іштей сызылған трапецияның бүйір қабырғаларының қосындысы $4\sqrt{10}$-ға тең, оның биіктігі 6-ға, ал ауданы 72-ге тең болса, трапецияға сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

Комментарий/решение

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, то она равнобедренная, тогда пусть $AD=a$, $BC=b$, $AB=CD=c$, $BH=h$ - высота, $AC=BD=d$ - диагональ.

1) $AB+CD=4\sqrt{10} \Rightarrow c=2\sqrt{10}$.

2) $S_{ABCD}=72 \Rightarrow a+b=24$.

3) С одной стороны, $AH = \cfrac{a-b}{2}$, с другой, из $\triangle AHB$ по теореме Пифагора $AH=2$, значит, $a-b=4$.

4) Из 2) и 3) получим, $a=14$, $b=10$.

5) $d^2=ab+c^2$, тогда $d=4\sqrt{6}$.

6) Из $\triangle ACD$ получим, $R=\cfrac{acd}{4S}$, тогда $R=\cfrac{7\sqrt{15}}{9}$.

Если а=14, то в=10, четвёртая строчка снизу.

Третья строчка.