Решения

XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2021 год

Для каждого натурального $m$ докажите неравенство $|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\dfrac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$. (Целой частью $[x]$ числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $[x] + \{x\} = x$.) ( А. Голованов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

ASDF

2021-06-18 01:28:39.0 #

Решение: Пусть $[\sqrt{m}]=n.$ Иными словами $m=n^2+k,$ где $0\le k\le 2n.$

Умножим обе части неравенства на $\bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)$:

$$LHS=\bigg| \{\sqrt{m}\}-\dfrac{1}{2}\bigg|\cdot \bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)=\bigg| \sqrt{m}-\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg|\cdot\bigg(\sqrt{m}+\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\bigg)$$

$$=\bigg|m-\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)^2\bigg|=\bigg|(k-n)-\dfrac{1}{4}\bigg|=s,$$

Заметим, что тогда $s\ge \dfrac{1}{4}.$ Осталось доказать, что

$$\dfrac{1}{4}> \dfrac{\bigg(\sqrt{m}+n+\dfrac{1}{2}\bigg)}{8(\sqrt{m}+1)}\iff \sqrt{m}+\dfrac{3}{2}> n,\ \text{что следует из}\ \sqrt{m}\ge n.\quad\square$$

ASDF

Mopsichek

пред. Правка 3

2021-12-08 09:07:44.0 #

Пусть $\sqrt{m}=x+y$ и $\left \{ \sqrt{m} \right \}=y$.

Очевидно что $y\neq 1/2$. Соответственно получаем два случая:

$i)$ $y>1/2$

$ii)$ $y<1/2$

(знак | это сравнение).

При первом случае уравнение преобразуется в:

$$(y-\frac{1}{2} )| \frac{1}{8(x+y+1)} \Rightarrow y| \frac{1+4(x+y+1)}{8(x+y+1)} \Rightarrow 8xy+8y^2+8y|(1+4x+4y+4) \Rightarrow 8xy+8y^2+4y|4x+5 \Rightarrow (8xy-4x)+(8y^2+4y-5)|0$$

$$2xy+y^2 \in N > x \Rightarrow 2xy+y^2 \geq x+1 \Rightarrow (8xy-4x)+(8y^2+4y-5)|0 \Rightarrow (4y^2+4y-1)|0$$

При точке и выше $y=1/2 \Rightarrow> 0.$

При втором случае уравнение преобразуется в:

$$(\frac{1}{2}-y )| \frac{1}{8(x+y+1)} \Rightarrow \frac{1}{2} | \frac{1+8y(x+y+1)}{8(x+y+1)} \Rightarrow (8x+8y+8)|(2+16xy+16y^2+16y) \Rightarrow 0|(16xy+16y^2+8y-6-8x) \Rightarrow 0|(16xy-8x) + (16y^2+8y-6)$$

Мы знаем что $x+1>2xy+y^2$ и так как $2xy+y^2 \in N \Rightarrow x \geq 2xy+y^2$

$$8x\geq 8y^2+16xy \Rightarrow 8y^2+8y-6 \geq (16xy-8x) + (16y^2+8y-6)$$

Но при $y<1/2$ $ 8y^2+8y-6<0$, задача решена.

Mopsichek