Республиканская олимпиада по математике, 2021 год, 9 класс

Пусть $a,b,c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c+\dfrac{1}{abc}=\dfrac{19}{2}.$ Найдите наибольшее возможное значение $a$. ( Ануарбеков Т. )

Комментарий/решение

По неравенству AM-GM, $$b+c+\frac{1}{abc} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a}}$$

тогда $$\frac{19}{2}=a+b+c+\frac{1}{abc} \geq a+3 \sqrt[3]{\frac{1}{a}}$$.

Заменим $\sqrt[3]{a} = x$, тогда $x^3+ \frac{3}{x} \leq \frac{19}{2}$,$$2x^4+6 \leq 19x$$ $$2x^4-19x+6 \leq 0$$

Рассмотрим функцию $f(x)=2x^4-19x+6$, $x=2$ - его корень, а так как функция возрастающая, то при $х>2, f(x)>0$, поэтому наибольшее возможное значение x, удовлетворяющее наше неравенство - $2$, $\Rightarrow$ $a \leq 8$.

Пример для $a=8$: $b=c=\frac{1}{2} $, $$8+\frac{1}{2} +\frac{1}{2} +\frac{1}{8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} } =\frac{19}{2}$$

Есть решение без функции?

Наверное есть

Как решить данную функцию?

Извините.

$f(x) \leq 0$ при определенных $х$, но $max(x) = 2$

$$19/2=a+b+c+1/abc=$$

$$=\frac{15a}{16}+\frac{a}{16}+b+c+\frac{1}{abc}\ge \frac{15a}{16}+2$$

откуда следует, что $a\le 8$, остается найти пример $a=8,b=c=1/2$

Дополню решение выше:

Преобразуем так $\dfrac{19}{2} \ge x^3+\dfrac{3}{x}=16\dfrac{x^3}{16}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\ge 19\sqrt[19]{\dfrac{x^{16\cdot 3}}{16^{16}\cdot x^3}}\implies x^{45}\le 2^{45}\implies x\le 2.\quad\square$

Если сделать $AM-GM$ на слагаемые

$$\frac{a}{16}+...+\frac{a}{16}+b+c+\frac{1}{abc} $$

Получаем $8\ge a.$

Примером является $a=8, b=c=\frac{1}{2}.$

В Официальном решении было как у "pokpokben", но в конце использовался факторизейшн по типу:

$$(x-2)(2x^{3}+4x^{2}+8x-3)\leq 0$$

А дальше $x(max)=2$ $\rightarrow$ $a(max)=8$, с примером $b,c=\frac{1}{2}$