Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Последовательность чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, принадлежащих интервалу $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$, удовлетворяет условию $ {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_1 + {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_2 + \dots + {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_n \leq n$. Докажите, что $ \sin x_1 \cdot \sin x_2 \cdot \dots \cdot \sin x_n \leq 2^{ - \tfrac{n}{2}}$.

Комментарий/решение

$tgx=\frac{sinx}{cosx}\ge \frac{2sin^2x}{sin2x}\ge 2sin^2x$

Просто продолжу $tgx \geq 2sin^2x$

Учитывая вышеописанное неравенство и неравенство о средних получаем

$n(sinx_{1} \cdot sinx_{2} \cdot \dots \cdot sinx_{n})^{\frac{2}{n}} \leq sin^2x_{1} + sin^2x_{2} ...+sin^2x_{n} \leq \dfrac{n}{2}$

откуда $P \leq 2^{-\frac{n}{2}}$