Областная олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс


Задача №1.  Найдите все пары целых чисел $(x, y)$, для которых справедливо уравнение $$ xy^2 + xy + x^2 - 2y - 1 = 0. $$
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть функция $g$ определена на натуральных числах $1 \leq n \leq 2003$ по следующему правилу
1) $g(2)=1$;
2) $g(2n)=g(n)$;
3) $g(2n+1)=g(2n)+1$.
комментарий/решение(1)
Задача №3. Последовательность чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, принадлежащих интервалу $\left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$, удовлетворяет условию $ {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_1 + {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_2 + \dots + {\mathop{\hbox{tg}}\nolimits} x_n \leq n$. Докажите, что $ \sin x_1 \cdot \sin x_2 \cdot \dots \cdot \sin x_n \leq 2^{ - \tfrac{n}{2}}$.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  На каждой стороне параллелограмма выбрана внутренняя точка. Докажите, что периметр полученного четырехугольника не меньше удвоенной длины наименьшей диагонали исходного параллелограмма.
комментарий/решение
Задача №5.  Для каких натуральных чисел $n$ существуют действительные числа $a_1 < a_2 < \dots < a_n$, удовлетворяющие следующему условию: $$ \left\{ {a_j - a_i |1 \leq i < j \leq n} \right\} = \left\{ {1,\;2, \dots ,\frac{{n(n - 1)}} {2}} \right\} \ ? $$
комментарий/решение
Задача №6.  В треугольнике $ ABC$ биссектриса угла $ ACB$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$, а описанную окружность в точке $L$ ($L\neq C$). Обозначим через $V$ центр вписанной окружности треугольника $ ABC$, через $S$ — центр описанной окружности треугольника $ KBV$, через $Z$ — точку пересечения прямой $AB$ и $SL$. Докажите, что прямая $SK$ касается описанной окружности $\triangle KLZ$.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  Известно, что многочлен $p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ имеет четыре различных натуральных корня и $p(2003)=2002$. Пусть $q(x) = x^2 - 2x + 2003$. Известно также, что многочлен $p(q(x))$ не имеет действительных корней. Определите значение $a$.
комментарий/решение(1)
Задача №8. На международной конференции официальными являются четыре языка, причем любые два участника конференции могут разговаривать хотя бы на одном общем официальном языке. Докажите, что среди официальных языков найдется хотя бы один, на котором разговаривают не менее $60\%$ всех участников конференции.
комментарий/решение