Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Тақта үстінде 2003 тас жатыр. Екі ойыншы кезекпен бірден кем емес, бірақ қалған тастардың жартысынан аспайтын бірнеше тас алады. Жүрісінен кейін бір тас қалған ойыншы жеңіледі. Ойыншылардың қайсысы (біріншісі ме, екіншісі ме) әрқашан дұрыс ойнап жеңе алады?

Комментарий/решение

Ответ:первый.

Решение:Рассмотрим все выигрышные позиции.Это:2,5,11,23,47,95,191,383,767,1535 и 2003.Первый игрок запросто может оставить 1535 камней при первом ходе.Тогда второй может оставить от 1534 до 768 (1534 и 768

включительно) камней за ход.Судь в том что второй никак не может оставить после себя 767 камней.А первый после хода второго - может. Таким образом второй неизбежно будет прыгать только на проигрышные позиции в то время как у первого постоянно будут возможности спрыгнуть на выигрышную позицию.В конце концов первый доберется до последней выигрышной позиции, позиции 2. Тогда второй неизбежно должен будет оставить после себя 1 камень, что и приведет его к проигрышу.