Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

$S$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын, ал $P$, $Q$ нүктелері — $C$ төбесінен сәкесінше $BAC$ және $ABC$ бұрыштарының биссектрисаларына түсірілген биіктіктердің табандары. $AB$ және $PQ$ параллель екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$X$ - Точка пересечения биссектрис , тогда четырёхугольник $XQPC$ описанный , откуда углы $\angle QPC=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}$ и $\angle PQC = 90^{\circ} - \frac{\angle ABC}{2}$ . Тогда если продлить $PQ$ до пересечения со сторонами $AC$ и $BC$ , обозначим точки пересечения $X$ И $Y$ соответственно , то получим что $\angle CPX = 180^{\circ} - \angle QPC - \angle ABC = \angle BAC $ , так же и с другим углом , проучим что $PQ || AB $ .