Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Петя мен Вася дөңгелек айналым жолмен сағат тіліне қарсы бағытта бір нүктеден және бір уақытта жүгіре бастайды. Олардың жылдамдықтары бірқалыпты, бірақ Васяның жылдамдығы Петянікінен екі есе көп. Петя әрдайым сағат тіліне қарсы бағытта жүреді. Ал Вася, егер ол бір бағытта жарты немесе жартыдан көп айналым жүгіріп өтсе, жүгіру бағытын өзгерте алады. Петя бірінші айналымды жүгіру кезінде, Вася, старт мезетін санамаған кезде, Петямен үш рет кездесе (тең болып немесе озып кете) алатынын көрсетіңіз. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Поделим дорожку на шесть равных частей последовательными точками $A_1,$ $\ldots,$ $A_6$ так, чтобы бегуны стартовали из точки $A_1$ в направлении $A_2.$ Добежав до $A_4,$ Вася поворачивает и в точке $A_3$ впервые встречает Петю. Затем Вася продолжает бежать по часовой стрелке, пока не встретит Петю во второй раз в точке $A_5.$ Пробежав еще по часовой стрелке не дальше точки $A_4,$ Вася поворачивает (он имеет на это право, так как перед этим пробежал по часовой стрелке более половины дорожки) и обгоняет Петю не позже, чем тот добежит до финиша, так как Пете после второй встречи осталось бежать до точки $A_1$ треть круга, а Васе — не более двух третей круга.