Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 11 сынып

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $BD$ диагоналынан және оның ($B$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан, $\angle DAE=\angle BCF$ болатындай етіп, сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелері алынған. Олай болса, $\angle DCE=\angle FAB$ болатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

$\angle DAE + \angle CAE = \angle DBC = 180-\angle FBC = \angle BCF + \angle BFC$ откуда $\angle CAE = \angle BFC$ значит $AECF$ вписанный, откуда из условия вписанности $\angle BAE+\angle BCE+ \angle DAE + (\angle DCE)=\angle BAE + \angle BCE+ \angle BCF + (\angle FAB) = 180^{\circ}$ откуда $\angle DCE = \angle FAB$ .