21-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Кипр, 2019 год


Найдите все простые числа $р,$ для которых существуют такие положительные целые числа $x,y,z$, что число $x^p-x+y^p-y+z^p-z$ равно произведению трёх различных простых чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2021-04-29 19:12:42.0 #

$Ответ:p=2,3,5$

Заметим что по теореме ферма при $p>5$ $x^p-x$ делится на $6p$ (так как $x(x^{p-1}-1)$ делится на $x(x^2-1)$,а это число на $6$). Но при $x>1$(в ином случае $x=y=z=1$, но в этом случае выражения равно $0$), $x^p-x+y^p-y+z^p-z \geq x^p-x \geq 2^p-2>6p$, значит это число (при $p>5$) произведение больше чем $3$ простых чисел. Вот примеры для:

$p=5,x=2,y=z=1$

$p=3,x=1,y=2,z=3$

$p=2,x=3,y=z=4$

пред. Правка 2   1
2021-04-30 11:17:57.0 #

На JBMO, BMO часто снимают баллы за недоказанные факты, несмотря на их простоту. Так, например, у участников того года снимали по 1-2 балла если не доказали, что $2^p-2>6p$.

(Совет будущим участникам помнить об этом)

  1
2021-04-29 22:13:08.0 #

Мне кажется этот ученик был ты)лол

  1
2021-04-29 23:09:25.0 #

жёстко..

  2
2021-04-29 23:44:05.0 #

Этими людьми были четверо из шести участников команды Казахстана)

  2
2021-04-30 10:36:59.0 #

Мне вас правда жаль, может из за этих не достаточных баллов вы не смогли взять хорошое место. А так на сайте $matol$ не обязательно предоставлять полные решение(мы же не на олимпиаде), цель сайта это научить думать критически и понимать какие методы и теории нужны использовать при решении олимпиадных задач.

  2
2021-04-30 11:39:03.0 #

думайте критически, занимайтесь математикой, хвхвх

  6
2023-01-09 19:40:20.0 #

$2^p\geq{p^2} $ это известно если $p\geq 4$ и $2^p-2>p^2$ если $p\geq 5$ т.к. $p\geq7$ то $2^p-2>p^2>6p$ если $p\geq 7$ .Вот доказательство

  0
2023-01-09 20:36:48.0 #

так можно просто $2^p-2 > 6p$ через индукцию доказать для чисел $p>5$, не?

  3
2023-01-10 01:02:25.0 #

Это то можно но разницы нету т.к. мы доказали то что надо было