Математикажан қалалық Жәутіков олимпиадасы, 8 сынып, 2019 жыл

$ABC$ үшбұрышында $AC=BC$. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасын $E$ нүктесінде қияды. $AB$ қабырғасында $D$ нүктесі белгіленген. $AE$ және $CD$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $\angle CDB=\angle CEA=60^\circ$ екені белгілі. $CEN$ үшбұрышының периметрі $AB$ кесіндісіне тең екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Найдя угол $\angle BAC=40^{\circ}$ следует из того что $AE$ биссектриса, тогда $AN=CN$.

Докажем что $DE$ так же биссектриса $\angle BDC$ рассмотрим правильный треугольник $BDF$, тогда треугольники $ACE$ и $BCF$ равны, откуда $BD=BF=AE$, докажем что $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AC}{AB}$ (это и докажет утверждение о биссектрисе) рассмотрим правильный треугольник $AGE$ тогда треугольники $AGB, BCD$ подобны , откуда $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{CD}{AG}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AC}{AB}$ , из условия получаем что $DNEB$ вписанный , учитывая биссектрису $DE$ откуда $BN=EN$ возьмём на прямой $AE$ точку $C’$ что $AC’=AB$ тогда треугольники $C’EB,CNE$ равны, так как $BN=NE$ откуда $P_{CNE}=AB$.