Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

Келесі теңсіздікті делелдеңдер: $(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\ldots (1+{{a}_{n}})\le 1+s+\dfrac{{{s}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{s}^{n}}}{n!},$ мұндағы ${{a}_{i}} > 0$, $i=1,2,\ldots ,n$. және $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$.

Комментарий/решение

$$\sqrt[n]{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)}\leq \frac{1+a_1+1+a_2+...+1+a_n}{n}=$$ $$=\frac{\underbrace{a_1+a_2+...a_n}_S+n}{n}=\frac{S}{n}+1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)\leq \left(\frac{S}{n}+1\right)^n=$$

$$=1+\sum \limits_{i=1}^{n}{{C_n}^i \left(\frac{S}{n}\right)^i}\leq 1+\sum \limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{S}{n}\right)^i}$$