Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышының $BC$ қабырғасында $D$ нүктесі таңдап алынған. $D$ нүктесінен сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардьң табандарын $E$ және $F$ деп белгілейік. Егер $D{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}$ өрнегінің шамасы ең кіші мүмкін болатын мәнге тең болса, $AD$ мен $A$ бұрыштың биссектрисасы арасындағы бұрыш $A$ төбесінен түсірілген биссекстриса мен медиана арасындағы бұрышқа тең екенін дәледдеңіздер.

Комментарий/решение

$S_{1},S_{2}$ - площади треугольников $ADB,ADC$ соответственно, тогда $DE^2+DF^2 = \dfrac{4S_{1}^2}{AB^2} + \dfrac{4S_{2}^2}{AC^2} \geq \dfrac{4(S_{1}+S_{2})^2}{AB^2+AC^2}$ (последнее по неравенству Коши-Буняковского), откуда равенство выполняется тогда, когда $\dfrac{S_{1}}{S_{2}} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$ то есть $AD$ симедиана треугольника $ABC$ откуда следует утверждение в условий .