Районная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс

Числа $a,b,c$ из интервала $(0, \pi /2)$ удовлетворяют равенствам: $\cos a = a,$ $\sin \cos b = b,$ $ \cos \sin c = c.$ Расположите эти числа в порядке возрастания.

Комментарий/решение

$cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и $\dfrac{\pi}{4}>\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ учитывая $cosx<cosy$ при $x>y$ значит$a<\dfrac{\pi}{4}$ но $cosx=sinx$ при $x=\dfrac{\pi}{4}$ учитывая то что $sinc$ возрастает на $(0,\dfrac{\pi}{2}) $ значит $a<c$.

График $arcsinb$ симметричен графику $sinb$ относительно биссектрисы прямого угла, значит $a$ расположена между $b<a<c$.