қазақша
русскийРайонная олимпиада по математике, 2018-2019 учебный год, 11 класс
Задача №1. Числа $a,b,c$ из интервала $(0, \pi /2)$ удовлетворяют равенствам: $\cos a = a,$ $\sin \cos b = b,$ $ \cos \sin c = c.$ Расположите эти числа в порядке возрастания.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD,$ вписанного в окружность с центром в $O,$ взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная $AOC$ делит четырехугольник на две части равной площади.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В теннисном турнире участвовали $n$ профессионалов и $2n$ любителей. Каждая пара теннисистов сыграла ровно одну игру между собой. Известно, что отношение числа побед, одержанных профессионалами, к числу побед, одержанных любителями, равно 7/5 (в теннисе ничьих не бывает). Найдите $n.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Решите систему, состоящую из уравнений: $x_i+x_i x_{i+1} = 1,$ для $i = 1,2, \ldots ,9,$ и $x_{10} + x_{10}x_1 = 1.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Можно ли из множества $\{1,2, \ldots ,11,12\}$ выбрать 11 различных чисел $a_1,a_2,\ldots ,a_{10},a_{11}$ так, чтобы все десять чисел $|a_1 - a_2|,$ $|a_2 - a_3|,$ $\ldots,$ $|a_{10} - a_{11}|,$ $|a_{11} - a_{1}|$ были различными?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На каждой стороне параллелограмма с площадью $S$ взято по точке.
Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна $S/2.$ Докажите,
что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)