Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс

Пусть $M$ — точка пересечения медиан остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB,$ $BMC,$ $CMA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.

Комментарий/решение

Поскольку площади треугольников AMB, BMC и AMC равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC), то из формулы S = pr следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1).

Допустим, что AB > BC. Тогда угол ADB — тупой (D — середина стороны AC). Поэтому AM > MC. Следовательно, периметр треугольника AMB больше периметра треугольника BMC, что невозможно.

Можно подробнее описать: почему площади треугольников AMB, BMC и AMC равны? Просто я не понял почему

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника

Спасибо за ответ, просто я вообще про это не слыхал)