Районная олимпиада, 2018-2019 учебный год, 8 класс


Задача №1.  Задана последовательность чисел $d_1,$ $d_2,$ $\ldots,$ $d_n$ такая, что $|d_i| \le 1$ для любого $i = 1,2,\ldots,n.$ Докажите, что можно выбрать последовательность $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_n$ чисел из $+1$ и $-1$ так, что для всех $i = 1,2, \ldots,n$ выполнится $|s_1d_1+s_2d_2+\ldots + s_id_i |\le 1.$
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть $M$ — точка пересечения медиан остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $AMB,$ $BMC,$ $CMA,$ равны, то треугольник $ABC$ — правильный.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Множество $A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший — 100. Каждый элемент $A,$ кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел из $A.$ Укажите среди всех множеств $A,$ удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов.
комментарий/решение
Задача №4.  Докажите, что число $(1 + \sqrt 2)^{2018}$ представляется в виде $a + b \sqrt 2,$ где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа.
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Площадь любого треугольника, вершины которых лежат на сторонах данного выпуклого многоугольника, меньше 1. Докажите, что этот многоугольник лежит внутри некоторого треугольника площади 4.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  В множестве $\{0,1,2,3,4,5\}$ выбрано 32 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
комментарий/решение