Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

Даны $0 < x,y < 1$. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$.

Комментарий/решение

Пусть $z=1-x-y,$ тогда $x+y+z=1.$ Если $z\le 0,$ то $\dfrac{xyz}{(x+y)(1-x)(1-y)}\le 0.$ Далее $z>0,$ тогда из $AM\ge GM$

$$\dfrac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\dfrac{xyz}{(y+z)(z+x)(x+y)}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{yz}\cdot 2\sqrt{zx}\cdot2\sqrt{xy}}=\dfrac{1}{8}.$$

Равенство достигается при $x=y=\dfrac{1}{3}.$ Значит $\max \dfrac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}=\dfrac{1}{8}.$