Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год


Задача №1.  Даны $0 < x,y < 1$. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$.
комментарий/решение
Задача №2.  $M$ — подмножество $\{1,2,3 \ldots 2011\}$, удовлетворяющее такому условию: среди любых трех элементов $M$ есть два, $a$ и $b$, таких, что $a|b$ или $b|a$. Найдите наибольшее возможное значение $|M|$.
комментарий/решение
Задача №3.  Дано целое $n \geq 2$.
a) Докажите, что существует такая перестановка $A_{1}, A_{2},\ldots , A_{2^{n}}$ подмножеств множества $\{1,2 \ldots ,n\}$, что $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ или $|A_{i}| - 1$ при $i = 1,2,3,\ldots , 2^{n}$, и $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$.
b) Найдите все возможные значения $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$, где $S(A_{i})$ обозначает сумму элементов $A_{i}$ и $S(\emptyset) = 0$, для любой последовательности $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{2^n}$ из пункта a).
комментарий/решение
Задача №4. $AB$ и $CD$ — две хорды окружности $\Gamma_{1}$ с центром $O$ разной длины, пересекающиеся в точке $E$ (внутри $\Gamma_{1}$). Окружность $\Gamma_{2}$ центром $I$ касается $\Gamma_{1}$ внутренним образом в $F$, а также касается $AB$ в $G$ и $CD$ в $H$. Прямая $l$, проходящая через $O$, пересекает $AB$ и $CD$ в $P$ и $Q$, соответственно, причем $EP = EQ$. Прямая $EF$ пересекает $l$ в $M$. Докажите, что прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AB$, касается $\Gamma_{1}$
комментарий/решение
Задача №5.  Существуют ли нечетное $n \geq 3$ и различные простые $p_1 , p_2, \ldots p_n$ такие, что все числа вида $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\ldots , n$; $p_{n+1} = p_{1})$ являются полными квадратами?
комментарий/решение
Задача №6.  Для действительных $a,b,c > 0$ докажите, что \[\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}.\]
комментарий/решение
Задача №7.  В треугольнике $ABC$, $AB > AC$, $I$ — центр вписанной окружности, которая касается $BC,CA,AB$ в $D,E,F$ соответственно. $M$ — середина $BC$, $H$ — основание высоты из $A$. Луч $AI$ пересекает прямые $DE$ и $DF$ в $K$ и $L$, соответственно. Докажите, что точки $M,L,H,K$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите все такие пары целых чисел $(a,b)$, что $n|( a^n + b^{n+1})$ для всех натуральных $n$.
комментарий/решение