Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год

Последовательность $ \{x_n\}$ такова, что $ x_1 = \frac {1}{2}, x_{n + 1} = x_n + \frac {x_n^2}{n^2}$. Докажите, что $ x_{2001} < 1001$.

Комментарий/решение

Если $ \ x_{n}\leq\frac{n}{2} $

Тогда $\ x_{n+1}=x_{n}+\frac{x_{n}^{2}}{n^2} \leq \frac{n}{2}+\frac{1}{n^2}\frac{n^2}{4}\leq\frac{n+1}{2}$

Заметим что $ \ x_{1}\leq\frac{1}{2} $

По индукции $ \ x_{n}\leq\frac{n}{2} $

Следовательно $ \ x_{2001}\leq1000.5<1001 $

Что и Требовалось Доказать

Улучшу оценку сверху для $x_{2001}$. Надеюсь более опытные пользователи укажут на ошибку, если он тут есть

Шаг 1. Последовательность ${x_n}$ строго возрастает

Доказательство:

Рассмотрим разность двух соседних членов последовательности

$$x_{n+1}-x_n=x_n+\dfrac{x_n^2}{n^2}-x_n=\dfrac{x_n^2}{n^2}=\left(\dfrac{x_n}{n}\right)^2$$

Понятно, что число в квадрате в поле $\mathbb R$ неотрицательно, а значит

$$x_{n+1}-x_n>0\rightarrow x_{n+1}>x_n $$

В силу произвольности $n$, получаем, что ${x_n}$ строго возрастает.

Шаг 2 Предположим, что существует предел $\mathop {\lim } \limits_{x \to \infty}x_n = M$, где $M-$ конечное число (константа). Тут же потребуем, что $M \ge 1$

Шаг 3. Попытаемся мажорировать (оценить) $x_{2001}$ рядом Эйлера

Ряд Эйлера сходится, известна его сумма (привел ниже)

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}$$

Запишем несколько членов последовательности ${x_n}$

$x_1=1/2$-по условию

$x_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{(1/2)^2}{1^2}=\dfrac{3}{4}$

$x_3=\dfrac{3}{4}+\dfrac{x_2^2}{2^2}<\dfrac{3}{4}+\dfrac{M^2}{2^2}$

Аналогично можно продолжить и до $x_{2001}$

$x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=2}^{2000}{\dfrac{1}{n^2}}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\sum \limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}$

Шаг 4 Нахождение приемлимого значения $M$

Имеем следующие неравенства

$$x_{2001}<x_{\infty}=M$$

$$x_{2001}<\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}$$

$$M>1$$

Приравняем две оценки сверху

$$M=\dfrac{3}{4}+M^2\cdot\dfrac{\pi^2}{6}$$

Получили

$$M=\dfrac{6\pm 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}$$

В силу того, что $M>1$ имеем

$$M=\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}$$

То есть, $x_{2001}<\dfrac{6+ 3\cdot\sqrt{10-\pi^2}}{\pi^2-6}\approx 1,8305$

PS. Вычисление на с++ дало результат $x_{2001}=0,717172$.

Берілген формула арқылы: $x_2= \frac{3}{4}, x_3=\frac{57}{64}$.

$n\ge 3$ үшін $x_n<\frac{n+1}{2}$ екенін индукциямен дәлелдейміз.

$x_3=\frac{57}{64}<\frac{3+1}{2}$

$x_k<\frac{k+1}{2}$ теңсіздігі дұрыс деп жориық. $k\ge 3 $ үшін:

$x_{k+1}=x_k + \frac {x_k^2}{k^2}<\frac{k+1}{2}+\frac{(k+2)^2}{4k^2}= \frac{k+2}{2} - \frac{k^2-2k-1}{4k^2}<\frac{k+2}{2}$

Демек, $x_{2001}<\frac{2001+1}{2}=1001$.