Западно-Китайская математическая олимпиада, 2001 год


Задача №1.  Последовательность $ \{x_n\}$ такова, что $ x_1 = \frac {1}{2}, x_{n + 1} = x_n + \frac {x_n^2}{n^2}$. Докажите, что $ x_{2001} < 1001$.
комментарий/решение
Задача №2.  Дан прямоугольник $ ABCD$ площади 2. Пусть $ P$ — точка на стороне $ CD$, а $ Q$ — точка, в которой вписанная окружность $ \triangle PAB$ касается стороны $ AB$. Произведение $ PA \cdot PB$ зависит от $ ABCD$ и $ P$. При достижении произведением $ PA \cdot PB$ наименьшего возможного значения,
а) докажите, что $ AB \geq 2BC$;
б) найдите значение выражения $ AQ \cdot BQ$.
комментарий/решение
Задача №3.  Пусть $ n, m$ — натуральные числа разной четности, причем $ n > m$. Найдите все целые $ x$ такие, что число $ \frac {x^{2^n} - 1}{x^{2^m} - 1}$ является точным квадратом.
комментарий/решение
Задача №4.  Пусть $ x, y, z$ — такие действительные числа, что $ x + y + z \geq xyz$. Найдите наименьшее возможное значение выражения $ \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$.
комментарий/решение
Задача №5.  Найдите все действительные $ x$ такие, что $ [x^3] = 4x + 3$.
комментарий/решение
Задача №6.  Точка $ P$ лежит вне окружности с центром в $ O$. Касательные из точки $ P$ касаются окружности в точках $ A$ и $ B$. $ PO$ и $ AB$ пересекаются в точке $ Q$. $ CD$ — произвольная хорда окружности, проходящая через $ Q$. Докажите, что центры вписанных окружностей $ \triangle PAB$ и $ \triangle PCD$ совпадают.
комментарий/решение
Задача №7.  Найдите все такие действительные числа $ x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$, что $ (2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1.$
комментарий/решение
Задача №8.  Будем называть $ A_1, A_2, \ldots, A_n$ $ n$-разбиением множества $ A$, если
(i) $ A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n = A$;
(ii) $ A_i \cap A_j \neq \emptyset$. Найдите наименьшее натуральное число $ m$ такое, что для любого $ 14$-разбиения $ A_1, A_2, \ldots, A_{14}$ множества $ A = \{1, 2, \ldots, m\}$ существует множество $ A_i$ ($ 1 \leq i \leq 14$), в котором есть два числа $ a, b$, удовлетворяющие неравенствам $ b < a \leq \frac {4}{3}b$.
комментарий/решение