Геометриядан Иран олимпиадасы, 2017 жыл, 2-ші лига (9-10 сыныптар)

$ABC$ үшбұрышында $BC$ қабырғасынан $2XY=BC$ болатындай $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген ($X$ нүктесі $B$ және $Y$ нүктелерінің арасында). $AA'$ кесіндісі $AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің диаметрі. $AX$ түзуі $BC$ түзуіне $B$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды $P$, ал $AY$ түзуі $BC$ түзуіне $C$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярды $Q$ нүктесінде қияды. $A'$ нүктесінен $AXY$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге жүргізілген жанама $APQ$ үшбұршына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Онда AXY тең бүйірлі үшбұрыш.Демек АВС және АРQ да тең бүйірлі үшбұрыш. Онда PQ|| BC, А` арқылы жүргізілген жанама да парраллель. А нүктесінен m түзуіне биіктік жүргізсек ол А` арқылы өтеді .Сонда А` нүктесі APQ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі ∎