Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

$P\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ көпмүшесі үш түрлі нақты түбірге ие,ал $P\left[ Q\left( x \right) \right]$ көпмүшесі, $Q\left( x \right)={{x}^{2}}+x+2003$ нақты түбірлері жоқ. $P\left( 2003 \right) > \dfrac{1}{64}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$$ P(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$

$$ P(x^2+x+2003)=(x^2+x+2003-x_1)(x^2+x+2003-x_2)(x^2+x+2003-x_3)$$

$$ x^2+x+2003-x_i=0 , \quad i=1,2,3$$

$$ D=1-4\cdot 2003+4x_i<0\Rightarrow x_i<2003-\frac{1}{4}$$

$$ x=2003 \Rightarrow P(2003)=(2003-x_1)(2003-x_2)(2003-x_3)>(2003-x_1)(2003-x_2)(2003-x_3)>$$

$$>(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))(2003-\left(2003-\frac{1}{4}\right))=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$