Математикадан жасөспірімдер арасындағы 20-шы Балкан олимпиадасы, Варна, Болгария, 2017 жыл

Центрі $O$ нүктесі болатын $\Gamma $ шеңбердің ішіне сүйірбұрышты $ABC(AB\ne BC)$ үшбұрышы сызылған. $AD\bot BC$ болатындай, $\Gamma $ шеңберінің бойында $D$ нүктесі табылсын, ал $M$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы болсын. $BDCT$ параллелограмм болатындай және $\angle BQM=\angle BCA,$ $\angle CQM=\angle CBA$ болатындай, $BC$ қабырғасының бір жағында жататын T және $Q$ нүктелерін қарастырайық. $AO$ түзуі $\Gamma $ шеңберін $E(E\ne A)$ нүктесінде қисын, ал $ETQ$ шеңберіне сырттай салынған шеңбер $\Gamma $ шеңберін $X\ne E$ нүктесінде қисын. $A,$ $M$ және $X$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусь $AM$ пересекает Г в точке $X_1$ докажем что $X_1QTE$ равнобокая трапеция. Заметим что $\angle BQM=\angle ACB=\angle AX_1B=\angle BX_1M$ аналогично $\angle CQM=\angle CX_1M$ . Так как $BC$ общая сторона а $QM$ и $X_1M$ медианы которые делят равные углы $\angle BQC=\angle BX_1C$ в равном соотношении. Отсюда легко увидеть что $\triangle BQC=\triangle BX_1C$ значит $Q$ и $X_1$ симметричны относительно $BC$. Заметим что $\triangle BTC=\triangle CDB =\triangle BEC$ значит $T$ и $E$ симметричны относительно $BC$ значит $QTEX_1$ равнобокая трапеция значит точки $Q,T,E,X_1$ лежат на одной окружности значит $X_1=X$