Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, причем точка $O$ лежит внутри четырехугольника и $\angle BAC = \angle ODA$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через $E$ перпендикулярно $AD$, пересекает прямую $BC$ в точке $M$. Прямая, проходящая через $E$ перпендикулярно $BC$, пересекает прямую $AD$ в точке $P$. Докажите, что прямая $MP$ проходит через середину $EO$.

Комментарий/решение

Положим что угол $\angle EDA=x$, $\angle BAC=a$ , тогда угол $\angle ABD = \frac{\angle AOD}{2}=90^{o}-a$ , то есть $\angle BEA = 90^{o}$ , откуда треугольники $\Delta BEC;\Delta BEA; \Delta AEC ; \Delta DEC$ - прямоугольные .

Заметим так же , что $PE=PD=AP$ и $ME=MC=BM$ из-за того что прямые проходящие через точку $E$ перпендикулярны , значит $PM$ средняя линия четырехугольника . Пусть $EO$ пересекает стороны $AB;CD$ в точках $L;Q$ , тогда $OQ=EL$ потому что $OQ=\sqrt{R^2-(R \cdot cosx)^2}=R \cdot sinx$ ; $EL=AL=\frac{AB}{2}=R \cdot sinx$ ,докажем что $E;O;L;Q$ лежат на одной прямой , $\angle DOQ=90^{o}-x$ , значит $\angle EOA = 2a-(90^{o}-x)$ , тогда как угол $\angle AOL=a$ , то есть сумма углов в треугольнике $\Delta EGO$ , $G$ точка пересечения $AO;ED$ должна равняться $180^{o}$ (если точки действительно лежат на одной прямой) , что верно так как $\angle EOA+\angle AOL + \angle AOD = 180^{o}$ (подставляя выше описанные значения) , значит средняя линия делит и $EO$ пополам .

Решение. Пусть $∠BAC=∠ODA=x=>\overset\frown{AD} =180°-2x=>∠ABD=90°-x=>$ диагонали $AC⊥BD$. $\triangle AED$ и $\triangle BEC$ прямоугольные $=>$ "севысоты" $EP$ и $EM$ являются медианами. Значит, $OM⊥BC,OM∥PE$. Аналогично, $OP∥ME=>OPEM$ – параллелограмм, откуда следует требуемое.