Математикадан аудандық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 9 сынып

Екі шахматшы бір бірімен бірнеше партия ойнады. Жеңіске, тең түскенге және ұтылысқа ойыншыға сәйкесінше $4$ ұпай, $2$ ұпай және $1$ ұпай беріледі. Ойыншылардың ұпайларының қосындысы $170$ ұпай болды. Жеңімпаз дәл $90$ ұпай алуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не мог.
Решение. Пусть победитель выиграл $a$ партий, сыграл в ничью $b$ партий, и проиграл $c$ партий. Тогда проигравший выиграл $c$ партий, сыграл в ничью $b$ партий, и проиграл $a$ партий, причем он набрал 80 баллов. Составим систему, используя условие задачи: $\left\{ \begin{gathered} 4a + 2b + c = 90, \\ 4c + 2b + a = 80. \\ \end{gathered} \right.$ Вычтем из первого уравнения второе, получим $3a-3c=10$. Но это уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть этого уравнения делится на 3, а правая — нет.