Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 9 класс

Два шахматиста сыграли между собой несколько партий. За победу, ничью и поражение игроку начисляется $4$ балла, $2$ балла и $1$ балл, соответственно. В сумме игроки набрали $170$ баллов. Мог ли победитель набрать ровно $90$ баллов?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не мог.
Решение. Пусть победитель выиграл $a$ партий, сыграл в ничью $b$ партий, и проиграл $c$ партий. Тогда проигравший выиграл $c$ партий, сыграл в ничью $b$ партий, и проиграл $a$ партий, причем он набрал 80 баллов. Составим систему, используя условие задачи: $\left\{ \begin{gathered} 4a + 2b + c = 90, \\ 4c + 2b + a = 80. \\ \end{gathered} \right.$ Вычтем из первого уравнения второе, получим $3a-3c=10$. Но это уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть этого уравнения делится на 3, а правая — нет.