Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2006 год

На плоскости даны точки $A$ и $B$, а также прямая $\ell$, проходящая через точку $B$. Рассмотрим произвольную окружность $\omega$, касающуюся прямой $\ell$ в точке $B$ и не содержащую внутри себя точку $A$. Касательные к $\omega$, проведенные из точки $A$, касаются $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$. ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Пусть $Г$ - окружность, которая касается $l$ в точке $B$ и проходит через $A$. Рассмотрим $C$ - радикальный центр $A,Г,\omega$. $C$ является точкой пересечения касательной к $Г$ в точке $A$(рад.ось $Г$,$A$) и $l$(рад.ось $Г$,$\omega$), то есть $C$ фиксирована. При этом несложно убедится, что радикальная ось $A$ и $\omega$ это средняя линия $\triangle AXY(||XY)$. Значит $XY$ проходит через $C'$, такую, что $C$ середина $AC'$